Memahami Soal Matematika Keterbagian Bilangan

Pengertian Keterbagian Bilangan

Soal matematika keterbagian bilangan – Keterbagian bilangan merupakan konsep dasar dalam matematika yang mempelajari hubungan antara dua bilangan. Konsep ini penting untuk memahami sifat-sifat bilangan dan berperan dalam berbagai aplikasi matematika.

Definisi Keterbagian

Suatu bilangan bulat a dikatakan habis dibagi oleh bilangan bulat b (dengan b ≠ 0) jika terdapat bilangan bulat k sedemikian sehingga a = b × k. Dalam hal ini, b disebut faktor atau pembagi dari a, dan a disebut kelipatan dari b.

Faktor dan Kelipatan

Faktor suatu bilangan adalah bilangan bulat yang dapat membagi habis bilangan tersebut tanpa sisa. Kelipatan suatu bilangan adalah hasil perkalian bilangan tersebut dengan bilangan bulat lainnya.

  • Contoh faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12. Sedangkan kelipatan dari 12 adalah 12, 24, 36, 48, dan seterusnya.

Perbandingan Faktor dan Kelipatan

Faktor Kelipatan
Definisi Bilangan bulat yang membagi habis bilangan lain tanpa sisa. Hasil perkalian suatu bilangan dengan bilangan bulat lainnya.
Contoh Faktor dari 10 adalah 1, 2, 5, dan 10. Kelipatan dari 5 adalah 5, 10, 15, 20, dan seterusnya.
Sifat Jumlah faktor selalu lebih kecil atau sama dengan bilangan tersebut. Jumlah kelipatan tak terbatas.

Contoh Bilangan yang Habis Dibagi

Contoh bilangan yang habis dibagi oleh bilangan lain adalah 20 habis dibagi 4 (20 = 4 × 5). Contoh lainnya adalah 36 habis dibagi 9 (36 = 9 × 4).

Menentukan Keterbagian

Untuk menentukan apakah suatu bilangan habis dibagi oleh bilangan lain, kita dapat menggunakan beberapa aturan keterbagian. Misalnya, untuk menentukan apakah suatu bilangan habis dibagi 2, kita hanya perlu melihat apakah angka satuannya genap (0, 2, 4, 6, atau 8). Ada beberapa aturan keterbagian lainnya untuk bilangan lain.

  • Untuk menentukan apakah suatu bilangan habis dibagi 3, jumlahkan semua angka penyusun bilangan tersebut. Jika jumlahnya habis dibagi 3, maka bilangan tersebut habis dibagi 3.
  • Contoh: 123, 1+2+3=6, 6 habis dibagi 3, maka 123 habis dibagi 3.

Sifat-sifat Keterbagian

Memahami sifat-sifat keterbagian bilangan sangatlah penting dalam matematika. Dengan mengetahui sifat-sifat ini, kita dapat dengan lebih mudah menentukan apakah suatu bilangan habis dibagi oleh bilangan lain tanpa perlu melakukan pembagian secara manual.

Sifat Keterbagian Berdasarkan Sisa Pembagian

Sifat keterbagian dapat dijelaskan dengan memperhatikan sisa pembagian. Suatu bilangan habis dibagi oleh bilangan lain jika sisanya nol.

Keterbagian oleh 2

Suatu bilangan habis dibagi 2 jika angka satuannya genap (0, 2, 4, 6, atau 8). Contoh: 12 habis dibagi 2 karena angka satuannya adalah 2. Sedangkan 15 tidak habis dibagi 2 karena angka satuannya adalah 5.

Keterbagian oleh 3

Suatu bilangan habis dibagi 3 jika jumlah digit-digitnya habis dibagi 3. Contoh: 123 habis dibagi 3 karena 1 + 2 + 3 = 6, dan 6 habis dibagi 3. Sedangkan 124 tidak habis dibagi 3 karena 1 + 2 + 4 = 7, dan 7 tidak habis dibagi 3.

Keterbagian oleh 5

Suatu bilangan habis dibagi 5 jika angka satuannya adalah 0 atau 5. Contoh: 10 habis dibagi 5 karena angka satuannya adalah 0. Sedangkan 12 tidak habis dibagi 5 karena angka satuannya adalah 2.

Keterbagian oleh 9, Soal matematika keterbagian bilangan

Suatu bilangan habis dibagi 9 jika jumlah digit-digitnya habis dibagi 9. Contoh: 189 habis dibagi 9 karena 1 + 8 + 9 = 18, dan 18 habis dibagi 9. Sedangkan 125 tidak habis dibagi 9 karena 1 + 2 + 5 = 8, dan 8 tidak habis dibagi 9.

Keterbagian oleh 10

Suatu bilangan habis dibagi 10 jika angka satuannya adalah 0. Contoh: 100 habis dibagi 10 karena angka satuannya adalah 0. Sedangkan 11 tidak habis dibagi 10 karena angka satuannya adalah 1.

Tabel Ringkasan Sifat Keterbagian

Bilangan Pembagi Syarat Keterbagian Contoh Bilangan Habis Dibagi Contoh Bilangan Tidak Habis Dibagi
2 Angka satuan genap 12, 24, 36 15, 17, 21
3 Jumlah digit habis dibagi 3 123, 216, 333 124, 127, 128
5 Angka satuan 0 atau 5 10, 15, 20 11, 12, 13
9 Jumlah digit habis dibagi 9 18, 99, 27 17, 25, 48
10 Angka satuan 0 10, 20, 30 11, 12, 13

Contoh Penerapan

Untuk menentukan apakah 456 habis dibagi 3, kita jumlahkan digit-digitnya: 4 + 5 + 6 = 15. Karena 15 habis dibagi 3, maka 456 habis dibagi 3.

Hubungan Antar Sifat Keterbagian

Sifat-sifat keterbagian ini saling berkaitan. Misalnya, bilangan yang habis dibagi 9 pasti juga habis dibagi 3. Ini karena jumlah digit yang habis dibagi 9 otomatis juga habis dibagi 3.

Metode Pemfaktoran

Metode pemfaktoran, khususnya pemfaktoran prima, merupakan alat penting dalam matematika untuk memecah bilangan menjadi faktor-faktor penyusunnya. Pemahaman tentang metode ini akan sangat membantu dalam menyelesaikan berbagai permasalahan terkait bilangan, seperti mencari Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB).

Pemfaktoran Prima

Pemfaktoran prima adalah proses memecah suatu bilangan bulat positif menjadi perkalian faktor-faktor prima. Faktor prima adalah bilangan prima yang dapat membagi habis bilangan tersebut. Memahami pemfaktoran prima sangat penting karena memungkinkan kita untuk menemukan semua faktor dari suatu bilangan.

Diagram Alir Pemfaktoran Prima

Berikut adalah diagram alir yang menjelaskan proses pemfaktoran prima:

  1. Mulailah dengan bilangan yang ingin difaktorkan.
  2. Cari bilangan prima terkecil yang dapat membagi habis bilangan tersebut.
  3. Bagi bilangan tersebut dengan bilangan prima yang ditemukan. Hasil baginya ditulis sebagai faktor.
  4. Jika hasil bagi tersebut masih dapat dibagi oleh bilangan prima terkecil, ulangi langkah 2 dan 3. Jika tidak, cari bilangan prima berikutnya yang dapat membagi hasil bagi tersebut.
  5. Ulangi langkah 2, 3, dan 4 sampai hasil bagi terakhir adalah 1.
  6. Tuliskan semua faktor prima yang ditemukan.

Contoh Soal Pemfaktoran Prima

Contoh: Tentukan faktorisasi prima dari bilangan 30.

  1. Mulai dengan 30.
  2. Bilangan prima terkecil yang dapat membagi 30 adalah 2. 30 ÷ 2 = 15.
  3. Bilangan prima terkecil yang dapat membagi 15 adalah 3. 15 ÷ 3 = 5.
  4. Bilangan prima berikutnya yang dapat membagi 5 adalah 5. 5 ÷ 5 = 1.
  5. Hasil bagi terakhir adalah 1, maka proses selesai.
  6. Faktorisasi prima dari 30 adalah 2 × 3 × 5.

Penerapan Pemfaktoran Prima untuk KPK dan FPB

Pemfaktoran prima sangat berguna dalam menentukan KPK dan FPB dari dua atau lebih bilangan.

  1. Menentukan KPK: Tentukan faktorisasi prima dari masing-masing bilangan. KPK adalah hasil kali dari semua faktor prima dengan pangkat tertinggi yang muncul dalam faktorisasi prima dari bilangan-bilangan tersebut.
  2. Menentukan FPB: Tentukan faktorisasi prima dari masing-masing bilangan. FPB adalah hasil kali dari semua faktor prima yang sama dengan pangkat terendah yang muncul dalam faktorisasi prima dari bilangan-bilangan tersebut.

Contoh: Tentukan KPK dan FPB dari 12 dan 18.

Faktorisasi prima 12 = 22 × 3 dan faktorisasi prima 18 = 2 × 32.

KPK(12, 18) = 22 × 32 = 4 × 9 = 36.

FPB(12, 18) = 21 × 31 = 2 × 3 = 6.

Langkah-langkah Praktis dalam Menyelesaikan Soal Pemfaktoran Prima

  1. Tentukan bilangan yang akan difaktorkan.
  2. Cari bilangan prima terkecil yang dapat membagi habis bilangan tersebut.
  3. Bagi bilangan tersebut dengan bilangan prima yang ditemukan.
  4. Ulangi langkah 2 dan 3 untuk hasil bagi yang diperoleh sampai hasil bagi terakhir adalah 1.
  5. Tuliskan semua faktor prima yang ditemukan.

Soal-soal Keterbagian Bilangan

Berikut ini disajikan beberapa contoh soal keterbagian bilangan, mulai dari tingkat dasar hingga tingkat yang lebih kompleks. Setiap soal dilengkapi dengan solusi lengkap dan langkah-langkah penyelesaiannya untuk memudahkan pemahaman.

Contoh Soal Keterbagian

  1. Soal: Tentukan apakah bilangan 126 dapat dibagi habis oleh 3.

    Solusi: Untuk menentukan apakah suatu bilangan habis dibagi 3, kita dapat menjumlahkan digit-digit bilangan tersebut. Jika jumlah digit-digitnya habis dibagi 3, maka bilangan tersebut juga habis dibagi 3. Dalam hal ini, 1 + 2 + 6 = 9. Karena 9 habis dibagi 3, maka 126 habis dibagi 3.

  2. Soal: Tentukan apakah bilangan 450 habis dibagi oleh 5 dan 10.

    Solusi: Suatu bilangan habis dibagi 5 jika digit terakhirnya 0 atau 5. Karena digit terakhir 450 adalah 0, maka 450 habis dibagi 5. Suatu bilangan habis dibagi 10 jika digit terakhirnya adalah 0. Karena digit terakhir 450 adalah 0, maka 450 juga habis dibagi 10.

  3. Soal: Tentukan apakah bilangan 276 habis dibagi 4.

    Solusi: Bilangan habis dibagi 4 jika dua digit terakhirnya habis dibagi 4. Dalam hal ini, 64 habis dibagi 4 (64 : 4 = 16), sehingga 276 habis dibagi 4.

  4. Soal: Tentukan apakah bilangan 1.530 habis dibagi oleh 2, 3, dan 5.

    Solusi: Bilangan habis dibagi 2 jika digit terakhirnya genap. Karena digit terakhir 1530 adalah 0, maka 1530 habis dibagi 2. Untuk 3, kita jumlahkan digit-digitnya: 1 + 5 + 3 + 0 = 9. Karena 9 habis dibagi 3, maka 1530 habis dibagi 3. Untuk 5, suatu bilangan habis dibagi 5 jika digit terakhirnya 0 atau 5. Karena digit terakhir 1530 adalah 0, maka 1530 habis dibagi 5.

  5. Soal (Lebih Kompleks): Pak Budi memiliki 720 buah mangga yang akan dibagikan kepada beberapa anak. Jika Pak Budi ingin setiap anak menerima mangga dalam jumlah yang sama dan tidak ada sisa, berapa kemungkinan jumlah anak yang menerima mangga?

    Solusi: Kita perlu mencari faktor-faktor dari 720. Faktor-faktor 720 adalah bilangan-bilangan yang dapat membagi 720 habis. Dengan mencari faktor-faktor dari 720, kita akan mendapatkan kemungkinan jumlah anak yang menerima mangga dalam jumlah yang sama dan tidak ada sisa.

Perbedaan Tipe Soal Keterbagian

Tipe Soal Deskripsi Contoh
Keterbagian dengan angka tertentu Menentukan apakah suatu bilangan habis dibagi oleh angka tertentu (misalnya 2, 3, 4, 5, 9, 10). Apakah 123 habis dibagi 3?
Keterbagian dengan aplikasi Menyelesaikan masalah yang melibatkan keterbagian bilangan dalam kehidupan sehari-hari. Pak Budi ingin membagi mangga … (lihat soal no. 5)

Aplikasi Keterbagian dalam Kehidupan Sehari-hari

Keterbagian bilangan memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan sehari-hari, seperti:

  • Membagi makanan atau barang secara merata
  • Menentukan pola atau urutan tertentu
  • Merencanakan kegiatan yang berulang

Hubungan dengan Konsep Matematika Lain

Soal matematika keterbagian bilangan

Konsep keterbagian bilangan memiliki keterkaitan erat dengan berbagai konsep matematika lainnya. Keterkaitan ini memperkaya pemahaman dan memperluas aplikasi konsep keterbagian dalam berbagai permasalahan matematika.

Hubungan dengan KPK dan FPB

Keterbagian memiliki keterkaitan erat dengan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB). Jika kita mengetahui faktor-faktor dari beberapa bilangan, kita dapat dengan mudah menentukan KPK dan FPB dari bilangan-bilangan tersebut. Menentukan KPK dan FPB seringkali melibatkan proses mencari faktor persekutuan dari beberapa bilangan. Konsep keterbagian menjadi dasar dalam mencari faktor-faktor tersebut.

  • Misalnya, untuk mencari KPK dari 12 dan 18, kita perlu mengetahui faktor-faktor dari 12 dan 18. Faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12. Faktor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, dan 18. Faktor persekutuan dari 12 dan 18 adalah 1, 2, 3, dan 6. Dari faktor persekutuan ini, kita dapat menentukan KPK dan FPB.
  • Ilustrasi: Bayangkan dua kelompok anak yang ingin membentuk barisan yang sama panjangnya. Kelompok pertama terdiri dari 12 anak, kelompok kedua terdiri dari 18 anak. Berapa jumlah anak minimal yang dibutuhkan agar setiap kelompok dapat dibentuk menjadi barisan dengan panjang yang sama? Jawabannya adalah KPK dari 12 dan 18.

Hubungan dengan Bilangan Prima

Bilangan prima adalah bilangan bulat yang lebih besar dari 1 dan hanya memiliki dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Konsep keterbagian erat kaitannya dengan bilangan prima karena setiap bilangan bulat dapat difaktorkan menjadi perkalian bilangan prima. Pemahaman tentang keterbagian membantu dalam mengidentifikasi dan menggunakan bilangan prima dalam pemfaktoran.

  1. Contoh: Bilangan 12 dapat difaktorkan menjadi 2 x 2 x 3. Dalam pemfaktoran ini, 2 dan 3 adalah bilangan prima.
  2. Ilustrasi: Bayangkan sebuah kotak yang dapat dibagi menjadi beberapa bagian kecil. Setiap bagian kecil tersebut merepresentasikan bilangan prima yang merupakan faktor dari bilangan asli.

Contoh Soal Terintegrasi

Berikut contoh soal yang mengintegrasikan keterbagian dengan konsep KPK dan FPB:

Soal Penyelesaian
Tentukan KPK dan FPB dari 24 dan 36.
  1. Faktorisasi prima dari 24 adalah 23 x 3.
  2. Faktorisasi prima dari 36 adalah 22 x 32.
  3. KPK = 23 x 32 = 72
  4. FPB = 22 x 3 = 12

Contoh lain, bagaimana konsep keterbagian digunakan dalam menyelesaikan masalah geometri, misalnya dalam menghitung luas atau keliling bangun datar. Jika ukuran sisi-sisi bangun datar memiliki faktor persekutuan, maka perhitungan akan lebih efisien.

Contoh Soal Lanjut Keterbagian Bilangan

Soal matematika keterbagian bilangan

Berikut ini disajikan beberapa contoh soal keterbagian bilangan yang lebih kompleks, lengkap dengan solusi dan penjelasan langkah demi langkah. Setiap langkah penyelesaian dilengkapi dengan argumen logika dan visualisasi untuk memudahkan pemahaman.

Contoh Soal 1

Tentukan apakah bilangan 1260 habis dibagi oleh 24. Jelaskan alasannya.

  1. Langkah pertama, kita perlu mencari faktorisasi prima dari 24. 24 = 23 × 3.

  2. Selanjutnya, kita perlu memeriksa apakah faktor-faktor prima dari 24 (yaitu 2 dan 3) juga merupakan faktor prima dari 1260.

    • 1260 = 22 × 32 × 5 × 7

    • Karena 1260 mengandung faktor 2 dan 3, maka kita bisa melanjutkan.

  3. Bilangan 1260 dapat dibagi habis oleh 24 jika dan hanya jika bilangan 1260 memiliki faktor prima yang sama dengan 24, yaitu 2 dan 3, dengan pangkat yang sama atau lebih tinggi.

  4. Dari faktorisasi prima 1260, kita melihat bahwa 1260 mengandung 22 dan 32. Kedua faktor prima tersebut memiliki pangkat lebih besar atau sama dengan yang terdapat pada 24 (23 dan 31). Karena 22 lebih kecil dari 23, 1260 tidak habis dibagi 24.

Kesimpulannya, 1260 tidak habis dibagi 24.

Contoh Soal 2

Sebuah bilangan terdiri dari empat angka. Bilangan tersebut habis dibagi oleh 12 dan 15. Jika bilangan tersebut memiliki digit satuan 6, berapakah bilangan tersebut?

  1. Faktorisasi prima dari 12 adalah 22 × 3, dan faktorisasi prima dari 15 adalah 3 × 5.

  2. Bilangan yang habis dibagi oleh 12 dan 15 berarti bilangan tersebut harus habis dibagi oleh KPK dari 12 dan 15, yaitu 60.

  3. Bilangan yang dimaksud harus berakhiran 6, dan habis dibagi 60.

  4. Bilangan yang habis dibagi 60, pastilah habis dibagi 10 (karena berakhiran 0). Karena satuannya 6, bilangan tersebut tidak bisa berakhiran 0.

  5. Sehingga, tidak ada bilangan yang memenuhi kondisi tersebut.

Kesimpulannya, tidak ada bilangan yang memenuhi kriteria tersebut.

Contoh Soal 3

Tentukan apakah bilangan 2736 habis dibagi oleh 72.

  1. Faktorisasi prima dari 72 adalah 23 × 32.

  2. Kita perlu memeriksa apakah faktorisasi prima 2736 mengandung faktor prima dari 72, yaitu 2 dan 3, dengan pangkat yang sama atau lebih tinggi.

  3. 2736 = 25 × 33 × 7. Faktor prima 2 dalam 2736 adalah 25, yang lebih besar dari 23 dalam 72.

  4. Faktor prima 3 dalam 2736 adalah 33, yang lebih besar dari 32 dalam 72.

  5. Karena faktor prima 2 dan 3 dari 2736 memiliki pangkat yang lebih besar atau sama dengan yang terdapat pada 72, maka 2736 habis dibagi oleh 72.

Kesimpulannya, 2736 habis dibagi oleh 72.

FAQ Terpadu: Soal Matematika Keterbagian Bilangan

Bagaimana cara menentukan bilangan yang habis dibagi 3?

Jumlahkan semua digit bilangan tersebut. Jika jumlahnya habis dibagi 3, maka bilangan tersebut habis dibagi 3.

Apa perbedaan antara faktor dan kelipatan?

Faktor adalah bilangan yang dapat membagi habis bilangan lain, sedangkan kelipatan adalah hasil perkalian suatu bilangan dengan bilangan bulat lainnya.

Bagaimana cara mencari FPB dari dua bilangan?

Salah satu caranya adalah dengan mencari faktorisasi prima dari kedua bilangan tersebut, kemudian mengambil faktor-faktor prima yang sama dengan pangkat terkecil.

Copyright 2025 suaraterkini.me